基于 NURBS 的数学表示法


多项式方程式

从最简单的数学表示法开始，我们都记得在几何课上可以用类似 y = 2x 的方程式表示一条（二维）直线。对于 x 的每个值，将其乘以 2 可以得出 y 的值，并且可以将这两个值绘制在图形上。

该类型的方程式的广义形式是 ax + by = c。等号左边的表达式称为多项式（“多”表示许多，指表达式可以包含多个项）。

我们可以创建更加复杂的表达式，以 x 乘以自身，即 y = x * x * x。不必写出项中的所有 x，通常只需算出总个数并将总个数以上标形式表示。这种上标称为“指数”。所以，上面的表达式可以表示为 y = x3。

我们可以编写带指数的多项式，例如：y = ax2 + bx + c（您可能还记得我们在数学课上学到过，这是一个二次方程式）。第一次出现的 x 的指数 (2) 表示该函数的图形是曲线而不是直线。

阶数

多项式方程式的阶数是方程式中的最大指数。回想一下，直线方程式的最大指数为 1。（如果某项没有指数，则相当于指数为 1。）

•线性方程式的阶数是 1。
•包含项 x2 的二次方程式的阶数为 2。
•包含项 x3 的三次方程式的阶数为 3，依此类推。
参数表示法

可以通过两种常见方法编写曲线的表达式。隐式表示法将每个变量组合在一个较长的非线性方程式中，例如：ax3 + by2 + 2cxy + 2dx +2ey +f = 0。

在该表示法中，只有计算出 x 值和 y 值才能在图形上绘制这些值，因此您必须对整个非线性方程式求解。

参数表示法将该方程式改写为容易求解的短方程式，即将一个变量转换为其他变量的值：x = a + bt + ct2 + dt3 + ... y = g + ht + jt2 + kt3 + ...

使用该表示法后，x 和 y 的方程式就显得非常简单。我们只需 t 的值，即沿着我们要计算其 x 和 y 值的曲线的点。

可以可视化参数化曲线，就像通过将点通过空间所绘制的效果一样。只要提供 t，我们就可以计算移动点的 x 和 y 值。

这是一个非常重要的点，因为许多工具都使用将参数与线上的每个点相关联的概念。这相当于曲线的 U 向标注。

复杂的曲线类型与 NURBS

曲线方程式的阶数越低，描述曲线则越简单。要表示复杂曲线该怎么办？简单的方法是增加曲线的阶数，但这一方法的效率并不太高。曲线的阶数越高，所需的计算越多。此外，阶数高于 7 的曲线易受其形状中的大范围振幅影响，导致它们不适合进行交互式建模。

正确方法是将阶数相对较低（1 到 7）的曲线方程式组合在一起，形成更大、更复杂的复合曲线分段。曲线分段或跨度连接在一起的点称为编辑点。

但是也不应完全忽略阶数较高的曲线。阶数为 5 和 7 的曲线具有某些优点，例如曲率更加平滑并且“张力”更大。此类曲线经常用在汽车设计中。

平滑结合点

曲线的阶数决定跨度之间的结合点的平滑度。阶数是 1（线性）的曲线在结合点处提供位置连续性。阶数是 2（二次）的曲线提供切线连续性。阶数是 3（三次）的曲线提供曲率连续性。

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